加权形式的证明思路
推广形式的证明思路与基本形式类似，但需要利用 g(x) 的不变号性质。
1. 假设 g(x) ≥ 0。由于 m ≤ f(x) ≤ M，则 mg(x) ≤ f(x)g(x) ≤ Mg(x)。
2. 积分得：m ∫ab g(x)dx ≤ ∫ab f(x)g(x)dx ≤ M ∫ab g(x)dx。
3. 若 ∫ab g(x)dx = 0，由于 g(x) ≥ 0 且 f(x) 有界，可证 ∫ab f(x)g(x)dx = 0，此时结论显然成立。
4. 若 ∫ab g(x)dx > 0，两边同除该积分值，得到 f(x) 的一个加权平均值介于 m 和 M 之间，再利用介值定理即可证得存在 ξ 使得 f(ξ) 等于该加权平均值。