利用几何图形进行向量分解
在三角形 ABC 中，D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点。若 AB = a，AC = b，求 BE。
步骤 1：找到 AD。由于 D 是中点，AD = 1/2(a + b)。
步骤 2：找到 AE。由于 E 是 AD 中点，AE = 1/2AD = 1/4(a + b)。
步骤 3：利用三角形法则。BE = AE - AB = 1/4(a + b) - a = -3/4a + 1/4b。
这里，a 和 b 构成了平面的一组基底，BE 被唯一地表示为它们的线性组合。
从基底到坐标系的转换
当基底 e₁、e₂ 是正交单位向量（即 i, j）时，向量的表示就退化为了直角坐标系中的坐标表示。
若 a = xi + yj，则 a 的坐标为 (x, y)。
转换技巧：在非正交基底中计算数量积时，需先计算基底的模长和夹角。例如，若 |e₁|=1, |e₂|=2, e₁·e₂=1，求 a=e₁+e₂ 的模。
|a|² = (e₁+e₂)² = e₁² + 2e₁·e₂ + e₂² = 1 + 2(1) + 4 = 7。故 |a| = √7。
力学中的力的分解
一个物体静止在斜面上，受到重力 G。我们将重力分解为沿斜面向下的分力 F1 和垂直斜面向下的分力 F2。
设斜面倾角为 θ，则 F1 = G sinθ，F2 = G cosθ。这里的 F1 和 F2 的方向分别对应斜面的两个不共线方向，它们构成了重力 G 在该平面内的一个基底表示。
这种分解方法在工程力学中至关重要，它帮助我们分析物体在特定约束下的运动趋势。