理论证明概要
设 V 是 n 维向量空间，S = {u1, u2, ..., uk} 是 V 中的线性无关集，且 k < n。由于 V 的维数为 n，存在一组基 B = {v1, v2, ..., vn}。根据替换定理，我们可以从 B 中选取向量逐个添加到 S 中，同时保持线性无关性，直到集合的大小达到 n。因为 S 最终包含 n 个线性无关向量，且 V 的维数为 n，所以 S 成为 V 的一组基。
这个过程展示了扩基定理的构造性本质：它不仅仅是存在性证明，还提供了一种构造基的方法。
算法步骤：高斯消元法的应用
在实际计算中，我们可以利用高斯消元法来实现扩基定理的构造过程：
- 构建矩阵：将已知的线性无关向量作为矩阵的行（或列）。
- 标准化：对矩阵进行行变换，化为行阶梯形矩阵。
- 寻找主元：检查单位矩阵的标准基向量 e1, e2, ..., en 中哪些不在当前矩阵的行空间（或列空间）中。
- 补充向量：将找不到的标准基向量添加到原向量集中。
- 完成基：此时，原向量集加上补充的向量构成了空间的一组基。
具体示例：R^3 空间中的扩基
假设在 R^3 空间中，我们有一个线性无关向量集 S = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}。显然，S 不是 R^3 的基，因为它只包含2个向量，而 R^3 的维数是3。
我们需要找到一个向量 v = (x, y, z)，使得 S ∪ {v} 线性无关。最直观的选择是 v = (0, 0, 1)。验证如下：
构造矩阵：
| 1 0 0 |
| 0 1 0 |
| 0 0 1 |
该矩阵的行列式为1，不为0，因此这三个向量线性无关，构成了
R^3 的一组标准基。