例题 1：已知两边求第三边
题目： 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°。若 a = 6, b = 8，求 c 的长；若 c = 10, a = 6，求 b 的长。
解析：
这是一道基础题，旨在考察对公式 a² + b² = c² 的直接应用。
① 当已知两直角边 a=6, b=8 时：
由勾股定理得：c² = a² + b² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100。
因为 c > 0，所以 c = 10。
② 当已知斜边 c=10 和直角边 a=6 时：
由勾股定理得：b² = c² - a² = 10² - 6² = 100 - 36 = 64。
因为 b > 0，所以 b = 8。
提示： 注意区分已知的是直角边还是斜边。求斜边时用加法，求直角边时用减法，切忌混淆。
例题 2：矩形折叠问题
题目： 如图，将长方形纸片 ABCD 沿对角线 BD 折叠，使点 C 落在点 C' 处，BC' 交 AD 于点 E。若 AB = 4, BC = 8，求 DE 的长。
解析：
折叠问题的核心在于全等和对称。
1. 由折叠性质可知：△BCD ≌ △BC'D，所以 ∠CBD = ∠C'BD，CD = C'D = AB = 4。
2. 因为矩形 ABCD 中 AD // BC，所以 ∠ADB = ∠CBD（内错角相等）。
3. 结合 1 和 2，可得 ∠ADB = ∠C'BD，即 ∠EDB = ∠EBD。
4. 所以 △EBD 是等腰三角形，EB = ED。
5. 设 DE = x，则 BE = x，AE = AD - DE = 8 - x。
6. 在 Rt△ABE 中，应用勾股定理：
AB² + AE² = BE²
4² + (8 - x)² = x²
16 + 64 - 16x + x² = x²
80 - 16x = 0
16x = 80
x = 5
所以，DE = 5。
例题 3：最短路径问题（蚂蚁爬行）
题目： 一个圆柱体高 12cm，底面半径 3cm。一只蚂蚁从下底面点 A 出发，沿圆柱侧面爬行到上底面点 B 处，A、B 两点在圆柱侧面上相对（即轴截面相对）。求蚂蚁爬行的最短路程。（π 取 3）
解析：
立体图形表面的最短路径问题，通常需要将侧面展开成平面图形来解决。
1. 将圆柱侧面沿母线展开，得到一个矩形。
2. 矩形的宽等于圆柱的高，即 12cm。
3. 矩形的长等于圆柱底面周长。因为 A、B 相对，所以水平距离为底面周长的一半。
底面周长 C = 2πr = 2 × 3 × 3 = 18cm。
水平距离 = 18 / 2 = 9cm。
4. 在展开图中，蚂蚁的最短路径即为连接起点和终点的线段长。这构成了一个直角三角形，两直角边分别为 9cm 和 12cm。
5. 应用勾股定理：
路程² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225
路程 = √225 = 15cm。
所以，蚂蚁爬行的最短路程为 15cm。
例题 4：数形结合与面积法
题目： 已知直角三角形的两条直角边长分别为 5 和 12，求斜边上的高。
解析：
这类题目考察的是等面积法与勾股定理的结合。
1. 首先求斜边 c：
c = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13。
2. 设斜边上的高为 h。
3. 利用三角形面积公式：S = 1/2 × 直角边1 × 直角边2 = 1/2 × 斜边 × 斜边上的高。
即：5 × 12 = 13 × h
60 = 13h
h = 60/13
所以，斜边上的高为 60/13。